Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{

* Hướng dẫn giải

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên F’(x) = f(x).

Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^{ - x}} - \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{ - x}} = \left( { - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x - c} \right){e^{ - x}}\) 

Đồng nhất hệ số ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
 - 2a = 2\\
2a - b =  - 5\\
 - c = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = 3\\
c =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow F(x) = \left( { - {x^2} + 3x - 2} \right){e^{ - x}}\\
 \Rightarrow F\left( 0 \right) =  - 2{e^{ - 0}} =  - 2 \Rightarrow f\left( {F\left( 0 \right)} \right) = f\left( { - 2} \right) = 20{e^2}.
\end{array}\)