Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và \(AB \bot BC\).

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của A’B’ ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
C'M \bot A'B'\\
C'M \bot AA'
\end{array} \right. \Rightarrow C'M \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow C'M \bot AB'\) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC' \bot AB'\\
C'M \bot AB'
\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {BC'M} \right) \Rightarrow AB' \bot BM\) 

Gọi \(K = AB' \cap CM\) 

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{B'K}}{{AK}} = \frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow B'K = \frac{1}{2}AK \Rightarrow B'K = \frac{{AB'}}{3}\) 

Đặt \(AA' = BB' = CC' = DD' = h\) 

Ta có: \(BM = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^4}}}{4}} ;\,\,AB' = \sqrt {{a^2} + {h^2}}  \Rightarrow B'K = \frac{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}{3}\) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuong BB’M ta có:

\(\begin{array}{l}
B'K.BM = BB'.B'M \Leftrightarrow \frac{1}{3}\sqrt {{a^2} + {h^2}} .\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = h.\frac{a}{2}\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} + {h^2}} .\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = 3ah \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {h^2}} \right)\left( {4{h^2} + {a^2}} \right) = 9{a^2}{h^2}\\
 \Leftrightarrow 4{a^2}{h^2} + {a^4} + 4{h^4} + {a^2}{h^2} = 9{a^2}{h^2} \Leftrightarrow {a^4} - 4{a^2}{h^2} + 4{h^4} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - 2{h^2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt 2 h \Leftrightarrow h = \frac{a}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\) 

Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\)