Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 45°.

* Hướng dẫn giải

Góc giữa SC và mặt đáy bằng \(45^\circ  \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Xét tam giác SAC vuông tại A, có \(SA = AC.\tan 45^\circ  = a\sqrt 2 \).

Dựng hình bình hành ACBE \( \Rightarrow BE//AC \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBE).

\(d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AH\).

Xét hình tứ diện vuông SABE có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{2{a^2}}}\) 

\( \Rightarrow A{H^2} = \frac{{2{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).