Cho tứ diện đều ABCD. M là trung điểm CD. N là điểm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số \(\frac{{AN}}{{AD}}\).

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\overrightarrow {NA}  = k\overrightarrow {ND}  \Rightarrow \overrightarrow {BN}  = \frac{{\overrightarrow {BA}  - k\overrightarrow {BD} }}{{1 - k}}\left( {k < 0} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
BN \bot AM \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {AM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA}  - k\overrightarrow {BD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow  - {a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{k}{2}{a^2} - \frac{k}{4}{a^2} - \frac{k}{2}{a^2} = 0 \Leftrightarrow k =  - 2
\end{array}\) 

Kết luận \(\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3}\)