Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(\log _2^2x + {\log _2}x + m = 0\) có nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right)\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {\log _2}x\) . Với \(x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow t \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

Phương trình trở thành: \({t^2} + t + m = 0 \Leftrightarrow m =  - {t^2} - t\)  (*).

Ta cần tìm m để phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) phương trình có nghiệm.

Xét hàm \(f\left( t \right) =  - {t^2} - t\) với \(t \in \left( { - \infty ;0} \right);f'\left( t \right) =  - 2t - 1;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên:

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow m \le \frac{1}{4}\).