Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện \({4^x} + {9^y} + {16^z} = {2^x} + {3^y} + {4^z}\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(a = {2^x},b = {3^y},c = {4^z}\) \(\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\) 

Theo giả thiết, ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = a + b + c \Leftrightarrow {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\)  (*).

Ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 2a + 3b + 4c\).

Trong không gian tọa độ Oxyz, lấy các điểm \(M\left( {a;b;c} \right),a > 0,b > 0,c > 0\) với thỏa mãn (*) 

\( \Leftrightarrow M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Xét mp \(\left( \alpha  \right):2x + 3y + 4z - T = 0\) đi qua \(M\left( {a;b;c} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) \le IM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{{\left| {2.\frac{1}{2} + 3.\frac{1}{2} + 4.\frac{1}{2} - T} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {4^2}} }} \le \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {\frac{9}{2} - T} \right|}}{{\sqrt {29} }} \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

\( \Leftrightarrow \left| {T - \frac{9}{2}} \right| \le \frac{{\sqrt {87} }}{2} \Leftrightarrow T - \frac{9}{2} \le \frac{{\sqrt {87} }}{2} \Leftrightarrow T \le \frac{{9 + \sqrt {87} }}{2}\).

Dấu đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với mặt cầu (I;R) tại M.

Bằng tính toán, ta giải được: \(a = \frac{{29 + 2\sqrt {87} }}{{58}};b = \frac{{29 + 3\sqrt {87} }}{{58}};c = \frac{{29 + 4\sqrt {87} }}{{58}}\).

Vậy \(\max T = \frac{{9 + \sqrt {87} }}{2}\).