Cho tứ diện ABCD có \(BC = a,CD = a\sqrt 3 ,\widehat {BCD} = \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \).

* Hướng dẫn giải

Xét hình hộp chữ nhật AB'C'D'.A'BCD.

Ta có:

+ \(\widehat {BCD} = \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) 

+ Vì \(BC//A'D \Rightarrow \) góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng góc giữa hai đường thẳng AD và A'D bằng góc \(\widehat {ADA'} \Rightarrow \tan \widehat {ADA'} = \tan 60^\circ  = \frac{{AA'}}{{A'D}} = \sqrt 3  \Rightarrow AA' = a\sqrt 3 \).

Do vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

\(AB'C'D'.A'BCD \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {A'{A^2} + A'{B^2} + A'{D^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
Vậy \(R = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).