Cho hàm số f(x) = ax^3 + bx^2 – 36x + c (a≠ 0; a, b, c ∈ ℝ) có hai điểm cực trị là −6 và 2.

Đáp án đúng là: C

f '(x) = 3ax² + 2bx – 36

Vì f '(x) có 2 điểm cực trị là −6 và 2 nên:

$\left\{\begin{array}{c}108a-12b-36=0\\ 12a+4b-36=0\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=6\end{array}\right.$ 

Ta được: f(x) = x³ + 6x² – 36x + c

Tại x = −6 : f(−6) = −216 + 216 + 216 + c = 216 + c

Tại x = 2 : f(2) = 8 + 24 – 72 + c = −40 + c

g(x) = a’x + b’ đi qua 2 điểm cực trị của f(x) nên :

$\left\{\begin{array}{c}-6a\text{'}+b\text{'}=216+c\\ 2a\text{'}+b\text{'}=-40+c\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}b\text{'}=216+c+6a\text{'}\\ b\text{'}=-40+c-2a\text{'}\end{array}\right.$ 

Û 216 + c + 6a’ = −40 + c – 2a’ Þ 256 = −8a’ Þ a’ = −32 Þ b = 24 + c

g(x) = −32x + 24 + c

f(x) = g(x) Û x³ + 6x² – 36x + c = −32x + 24 + c

Û $\left[\begin{array}{c}x=-6\\ x=2\\ x=-2\end{array}\right.$ 

Do đó S = $\underset{-6}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ = 128

Vậy S = 128