Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z để số phức w = |z| - 1/z -1 có phần ảo bằng 1/4

Đáp án đúng là: D

Đặt z₁ = a + bi (a, b ∈ ℝ), z₂ = c + di

Ta có : $\frac{1}{\left|z\right|-z}$ = $\frac{1}{\left|z\right|-a-bi}$ 

Û |z| − $\frac{1}{z-1}$ = a + bi − $\frac{1}{z-1}$ = $\frac{1}{2\left|z\right|}+\frac{b}{2|z{|}^2-2a|z|}$ 

Theo bài ta có: |z| − $\frac{1}{z-1}$ = $\frac{1}{4}$ Û |z| = 4

|z₁ – z₂| = 3 Û (a – c)² + (b – d)² = 9

Û a² + b² + c² + d² – 2(ac + bd) = 9

Û ac + bd = −1

|z₁ + 2z₂|  = $\sqrt{{(a+2c)}^2+{(b+2d)}^2}$ 

$=\sqrt{a^2+b^2+4(c^2+d^2)+4(ac+bd)}$

= $\sqrt{18}$ = $3\sqrt{2}$.

Theo tính chất |z + z'| ≤ |z| + |z'| ta có:

|z₁ + 2z₂− 3i| ≥ |z₁ + 2z₂| + |−3i| = $3\sqrt{5}$ − $3\sqrt{5}$ 

Vậy giá trị nhỏ nhất là 3$\sqrt{5}$ − $3\sqrt{2}$