Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 5 \right) = 2\) và \(F\

* Hướng dẫn giải

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{x - 1}}dx = \ln \left| {x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}
\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}{\rm{ khi }}x > 1\\
\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}{\rm{ khi }}x < 1
\end{array} \right.} \) 

+ Với \(F\left( 5 \right) = 2 \Rightarrow \ln \left( {5 - 1} \right) + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2 - 2\ln 2 \Rightarrow F\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right) + 2 - 2\ln 2\) (khi x > 1)

+ Với \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} \right) + {C_2} = 1 \Leftrightarrow {C_2} = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \ln \left( {1 - x} \right) + 1\) (khi x < 1)

Suy ra \(F\left( 2 \right) = \ln \left( {2 - 1} \right) + 2 - 2\ln 2 = 2 - 2\ln 2;F\left( { - 1} \right) = \ln \left( {1 + 1} \right) + 1 = 1 + \ln 2\)

Nên \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 2 - 2\ln 2 - \left( {1 - \ln 2} \right) = 1 - 3\ln 2\).