Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}}  = a\sqrt 5  + b\sqrt 2  + c\) với \(a, b, c\) là c�

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1}  = t \Rightarrow {x^2} + 1 = {t^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xdx = tdt\\
{x^2} = {t^2} - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = \frac{t}{x}dt\\
{x^2} = {t^2} - 1
\end{array} \right.\) 

Đổi cận: Với \(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 5 \)

Do đó \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{{x^3}}}{{t - 1}}\frac{t}{x}dt}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{{x^2}.t}}{{t - 1}}dt}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{\left( {{t^2} - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} \) 

\( = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} + t} \right)dt}  = \left. {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2}} \right|_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } = \frac{5}{3}\sqrt 5  + \frac{5}{2} - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1 = \frac{5}{3}\sqrt 3  - \frac{2}{3}\sqrt 2  + \frac{3}{2}\) 

nên \(a = \frac{5}{3};b =  - \frac{2}{3};c = \frac{3}{2} \Rightarrow P = a + b + c = \frac{5}{2}\).