Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng bi

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R. Ta có \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m\) 

Để hàm số đồng biến trên R thì \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in R\).

Hay \(\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = g\left( x \right)\) với \(\forall x \in R\).

Suy ra \(m \le \mathop {\min }\limits_R g\left( x \right)\) với \(g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\), xét \(g'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 1
\end{array} \right.\) 

BBT của \(g(x)\).

Từ BBT suy ra \(\min g\left( x \right) =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1\) 

Nên \(m \le  - 1\) thì hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng biến trên R.