Cho hình chóp S.ABCD đều có AB = 2 và \(SA = 3\sqrt 2 \). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và E là trung điểm SB.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong (SBO) kẻ đường trung trực của SB cắt SO tại I, khi đó \(IA = IB = IC = ID = IS\) nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là R = IS.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh 2

\( \Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{{BD}}{2} = \sqrt 2 \).

Ta có \(SA = SB = SC = SD = 3\sqrt 2 \) (vì S.ABCD là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) 

Xét tam giác SBO vuông tại O (vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\)) có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {18 - 2}  = 4\).

Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác SOB (g-g) \( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \frac{{SB.SE}}{{SO}} = \frac{{3\sqrt 2 .\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{4} = \frac{9}{4}\).

Vậy bán kính \(R = \frac{9}{4}\).