Giả sử F(x) = x^2 là một nguyên hàm của f(x)sin^2x và G(x) là một nguyên hàm của

Đáp án đúng là: B

F(x) = x² là nguyên hàm của f(x)sin²x

Nên F'(x) = f(x)sin²x

Û 2x = f(x)sin²x Û f(x) = $\frac{2x}{{\sin }^{2}x}$ 

G(x) là nguyên hàm của f(x)cos²x

Do đó G(x) = $\int f\left(x\right)co{s}^{2}xdx$ = $\int \frac{2x}{{\sin }^{2}x}.co{s}^{2}xdx$ 

= $\int \frac{2x(1-{\sin }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}dx$ = $\int \frac{2x}{{\sin }^{2}x}dx-\int 2xdx$ 

= $\int 2xd(-\cot x)$ − x²

= −2xcotx + $\int 2\cot x.dx$ − x²

= −2xcotx – x² + 2$\int \cot x.dx$ 

= −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + C

Theo giả thiết:

• G$\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0

$\iff -2.\frac{\pi }{2}.\cot \frac{\pi }{2}-{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2+2\ln \left|\sin \frac{\pi }{2}\right|+C=0$

$\iff -\pi .0-{\frac{\pi }{4}}^2+2\ln \left|1\right|+C=0$

Û $-\frac{{\pi }^2}{4}$ + C = 0 Û C = $\frac{{\pi }^2}{4}$ 

Nên G(x) = −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + $\frac{{\pi }^2}{4}$ 

• $G\left(\frac{\pi }{4}\right)=-2.\frac{\pi }{4}.\cot \frac{\pi }{4}-{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2+2\ln \left|\sin \frac{\pi }{4}\right|+\frac{{\pi }^2}{4}$ 

= $-\frac{\pi }{2}-\frac{{\pi }^2}{16}+2\ln \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{{\pi }^2}{4}$ 

= $-\frac{\pi }{2}+\frac{3{\pi }^2}{16}-2\ln \sqrt{2}$ 

= $-\frac{\pi }{2}+\frac{3{\pi }^2}{16}-\ln 2$ 

Mà G$\left(\frac{\pi }{4}\right)$ = aπ + bπ² + cln2

Nên ta có: a = $-\frac{1}{2}$; b = $\frac{3}{16}$; c = −1

Vậy a + b + c = $-\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{16}$ − 1 = $-\frac{21}{16}$.