Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z^2 – wz – 4 | bằng

Đáp án đúng là: C

Đặt z = a + bi , w = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ ).

Þ iw – 2 + 5i = i(c + di) – 2 + 5i

= ci + di² – 2 + 5i

= (c + 5)i – d – 2

Khi đó ta có:

• |z| = $\sqrt{a^2+b^2}=2$ Þ a² + b² = 4

Þ a, b ∈ [–2; 2]

• |iw – 2 + 5i| = $\sqrt{{\left(c+5\right)}^2+{\left(-d-2\right)}^2}=1$

Þ (c + 5)² + (d + 2)² = 1

Þ c ∈ [–6; –4] và d ∈ [–3; –1].

Ta có:

T = |z² – wz – 4|

= |z² – wz − |z|²|

= |z² – wz – z . $\overline{z}$|

= |z| . |z − $\overline{z}$ − w|

= 2|z − $\overline{z}$ − w|

Þ T = 2|2bi – (c + di)|

= 2|– c + (2b – d)i|

= 2$\sqrt{{(2b-d)}^2+c^2}$ ≥ 2$\sqrt{c^2}$ = 2|c| ≥ 2.4 = 8

(do c ∈ [−6; −4] nên |c| ≥ 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : $\left\{\begin{array}{c}c=-4\\ 2b-d=0\\ {(c+5)}^2+{(d+2)}^2=1\end{array}\right.$  Þ $\left\{\begin{array}{c}c=-4\\ d=-2\\ b=-1\end{array}\right.$ 

Vậy |z² – wz – 4| có giá trị nhỏ nhất bằng 8.