Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, với mọi x thuộc R và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) + f '(x) = e^−x

Û f(x)e^x + f '(x)e^x = e^−x .e^x  = 1

Û [f (x)e^x]' = 1

$\iff \int {\left[f\left(x\right).e^x\right]}^{\text{'}}dx=\int 1dx$

Û f(x)e^x = x + C'

Vì f(0) = 2 nên ta có:

2.e⁰ = 0 + C'

Þ C' = 2

Þ f(x)e^x = x + 2

 Þ f(x)e^2x = (x + 2).e^x

Khi đó ta có:$\int f\left(x\right)e^{2x}dx$= $\int (x+2)e^{x}dx$ 

= $\int (x+2)d\left(e^x\right)$ 

= (x + 2)e^x − $\int e^{x}d(x+2)$ 

= (x + 2)e^x − $\int e^{x}dx$ 

= (x + 2)e^x – e^x + C

= (x + 1)e^x + C.

Vậy ta chọn phương án B.