Biết rằng tích phân từ 0 đến 1 của dx/3x+5 căn bậc hai của 3x+1+7 = aln2+bln3+cln5, với a, b, c thuộc Q

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{3x+5\sqrt{3x+1}+7}$ 

= $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{3x+1+5\sqrt{3x+1}+6}$ 

= $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\left(\sqrt{3x+1}+2\right)\left(\sqrt{3x+1}+3\right)}$ 

Đặt u = $\sqrt{3x+1}$ 

Û u² = 3x + 1

Û 2udu = 3dx

Û dx = $\frac{2}{3}$u.du

Đổi cận

Do đó: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2}{3}\frac{udu}{(u+2)(u+3)}$ 

= $\frac{2}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{udu}{(u+2)(u+3)}$ 

= $\frac{2}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[\frac{3\left(u+2\right)-2\left(u+3\right)}{\left(u+2\right)\left(u+3\right)}\right]du$ 

$=\frac{2}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{3}{u+3}-\frac{2}{u+2}\right)du$

$=\frac{2}{3}.{\left[3\ln \left(u+3\right)-2\ln \left(u+2\right)\right]}_1^2$

= $\frac{2}{3}$.(3ln5 – 2ln4 – 3ln4 + 2ln3)

= $\frac{2}{3}$.(3ln5 – 5ln4 + 2ln3)

= $\frac{2}{3}$.(3ln5 −10ln2 + 2ln3)

= $\frac{-20}{3}$ln2 + $\frac{4}{3}$ln3 + 2ln5

Mà $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{3x+5\sqrt{3x+1}+7}$ = aln2 + bln3 + cln5

Þ a = −$\frac{20}{3}$; b = $\frac{4}{3}$; c = 2

Þ a + b + c = −$\frac{20}{3}$ + $\frac{4}{3}$ + 2 = $-\frac{10}{3}$ 

Vậy a + b + c = $-\frac{10}{3}.$