Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z – 1|2 + |z −z gạch |i + (z +z gạch )^i2023 = 1?

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ $\overline{z}$ = a – bi

Ta có:

• z – 1 = a – 1 + bi

Þ |z – 1|² = (a – 1)² + b².

• z − $\overline{z}$ = 2bi

Þ $\left|z-\overline{z}\right|=\sqrt{{\left(2b\right)}^2}=2\left|b\right|$

Þ $\left|z-\overline{z}\right|i=2\left|b\right|i$

• z + $\overline{z}$ = 2a

• i²⁰²³ = ${\left(i^2\right)}^{1011}$. i = −i       

Þ (z + $\overline{z}$)i²⁰²³ = –2ai

Do đó: |z – 1|² + |z − $\overline{z}$|i + (z + $\overline{z}$)²⁰²³ = 1

Û (a – 1)² + b² + 2|b|i – 2ai = 1

Û (a – 1)² + b² + (2|b| – 2a)i = 1

Û $\left\{\begin{array}{c}{(a-1)}^2+b^2=1\\ 2\left|b\right|-2a=0\end{array}\right.$ Û  $\left\{\begin{array}{c}{a}^2-2a+b^2=0\\ a=\left|b\right|\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2-2a+a^2=0\\ a=\left|b\right|\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2a^2-2a=0\\ a=\left|b\right|\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}2a\left(a-1\right)=0\\ a=\left|b\right|\end{array}\right.$

Û $\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}a=0\\ a=1\end{array}\right.\\ a=\left|b\right|\end{array}\right.$ 

• Với a = 0 ta có b = 0 khi đó ta có z = 0.

• Với a = 1 ta có |b| = 1 Þ b = 1 hoặc b = –1

Khi đó ta có z = 1 + i; z = 1 – i.

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.