Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \).

* Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của BC thì AB // MN suy ra \(d\left( {AB,SM} \right) = d\left( {AB,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\)

Gọi E là hình chiếu của A lên \(MN \Rightarrow ME \bot AE\), mà \(ME \bot SA  \Rightarrow NE \bot \left( {SAE} \right)\).

Gọi F là hình chiếu của A lên \(SE \Rightarrow AF \bot SE\).

Mà \(EN \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow NE \bot AF\).

Do đó \(AF \bot \left( {SEN} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SEN} \right)} \right) = AF\).

Tam giác SAE vuông tại A có \(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{12{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{13}}{{12{a^2}}} \Rightarrow A{F^2} = \frac{{12{a^2}}}{{13}} \Leftrightarrow AF = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\) 

Vậy \(d\left( {AB,SM} \right) = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).