Giả sử hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f(1)=1, f\left(

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1}  \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\) 

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}
\int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}dx \Rightarrow \int\limits_{}^{} {\frac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}dx} } } } \\
 \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  + C \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  + C}}
\end{array}\) 

Do \(f(1)=1\) nên \({e^{\frac{2}{3}\sqrt {3.1 + 1}  + C}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C =  - \frac{4}{3}\) hay \(f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  - \frac{4}{3}}}\) 

Do đó \(f\left( 5 \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3.5 + 1}  - \frac{4}{3}}} = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79\). Vậy \(3 < f\left( 5 \right) < 4\).