Cho lăng trụ đều ABC.EFH có tất cả các cạnh bằng a. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BH.

* Hướng dẫn giải

Gọi I là hình chiếu của A lên BH. Khi đó S đối xứng với A qua BH hay S đối xứng với A qua I.

Chia khối đa diện ABCSFH thành hai khối chóp A.BCHF và S.BCHF thì ta có \({V_{ABCHFS}} = {V_{A.BCHF}} + {V_{S.BCHF}}\) 

Lại có SI = AI và \(SA \cap \left( {BCHF} \right)\) tại I nên \(d\left( {A;\left( {BCHF} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {BCHF} \right)} \right)\).

Suy ra \({V_{A.BCHF}} = {V_{S.BCHF}} \Rightarrow {V_{ABCHFS}} = 2{V_{A.BCHF}}\) 

Dễ thấy \({V_{A.BCHF}} = {V_{ABC.EFH}} - {V_{A.EFH}} = {V_{ABC.EFH}} - \frac{1}{3}{V_{ABC.EFH}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.EFH}}\) 

Mà \({V_{ABC.EFH}} = AE.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) nên

\(\begin{array}{l}
{V_{A.BCHF}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.EFH}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\\
 \Rightarrow {V_{ABCHFS}} = 2{V_{A.BCHF}} = 2.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Vậy \({V_{ABCHFS}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).