Cho a, b là các số dương thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\frac{{5b - a}}{2}.\) Tính giá trị \(\frac{a}{b}.

* Hướng dẫn giải

Đặt \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\frac{{5b - a}}{2} = t,\) ta được: \(a = {9^t},b = {16^t},\frac{{5b - a}}{2} = {12^t}\) 

Suy ra \(\frac{{{{5.16}^t} - {9^t}}}{2} = {12^t} \Leftrightarrow {5.16^t} - {2.12^t} - {9^t} = 0 \Leftrightarrow 5 - 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \sqrt 6  - 1.\) 

Do đó \(\frac{a}{b} = \frac{{{9^t}}}{{16{}^t}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} = {\left( {\sqrt 6  - 1} \right)^2} = 7 - 2\sqrt 6 .\)