Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và có đạo hàm \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(g'(x) =  - f'\left( {1 - x} \right) =  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - x - 2} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\) 

\( =  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( { - 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right)\) 

Hàm số g(x) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)  

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\left( {do\,\,x + 1 < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)} \right)\\
 \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \ge m\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow  - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right]} h\left( x \right).
\end{array}\) 

Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2.\) 

BBT:

Dựa vào BBT ta có \( - m \le  - 9 \Leftrightarrow m \ge 9.\) 

Mà \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) và m nguyên nên \(m \in \left[ {9;10;11;...;2019} \right]\) hay có 2019 – 9 + 1 = 2011 giá trị của m thỏa mãn.