Cho hình chóp S.ABC có \(AB = AC = 4,BC = 2,SA = 4\sqrt 3 ,SAB = SAC = {30^0}.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC

* Hướng dẫn giải

Dễ thấy \(\Delta SAB = \Delta SAC(c.g.c)\) hay tam giác \(\Delta SBC\) cân.

Gọi M là trung điểm BC ta có: \(AM \bot BC,SM \bot BC \Rightarrow BC \bot (SAM).\) 

Gọi H là hình chiếu của S trên AM thì \(SH \bot AM,SH \bot BC\) nên SH là đường cao của hình chóp.

Xét tam giác SAB có:

\(S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2.SA.AB.cos{30^0} = 16 \Rightarrow SB = 4 \Rightarrow SC = 4.\) 

Do đó \(S{M^2} = \frac{{S{B^2} + S{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = 15 \Rightarrow SM = \sqrt {15} \) 

Tam giác ABC có \(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = 15 \Rightarrow AM = \sqrt {15} .\) 

Khi đó \({S_{SAM}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = 6.\) 

Do đó: \(SH = \frac{{2{S_{SAM}}}}{{AM}} = \frac{{2.6}}{{\sqrt {15} }} = \frac{{4\sqrt {15} }}{5}.\) 

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AM.BC.SH = \frac{1}{6}.\sqrt {15} .2.\frac{{4\sqrt {15} }}{5} = 4.\)