Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  + 2sinx} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x.

* Hướng dẫn giải

\(2\sin x - 1\sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  + 2sinx = 3 - 4{\cos ^2}x\) (*)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi .\) 

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right).\frac{{\sqrt 3 \sin  + 2\sin x\cos x}}{{\cos x}} = 3 - 4{\cos ^2}x\\
 \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + sin2x} \right) + \left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {\sin ^2}x - \sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + 2sinsin2x - sin2x + cos3x = 0\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {\sin ^2}x - \sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + cosx - cos3x - sin2x + cos3x = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {2\sin x - 1} \right) - \sin 2x + \cos x = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {2\sin x - 1} \right) - \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - cosx} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0\,\,(1)\\
\sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - cosx = 0\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải \((1) \Leftrightarrow {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right.\) 

Giải \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = cosx \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  = 1 \Leftrightarrow tanx = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {TM} \right).\) 

Hợp nghiệm của (1) và (2) ta được \(\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\) 

Mà \(x \in \left[ {0;20\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6} + \pi ;...;\frac{\pi }{6} + 19\pi ;\frac{{5\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi ;...\frac{{5\pi }}{6} + 18\pi } \right\}\) 

Vậy tổng các nghiệm là:

\(\begin{array}{l}
\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{6} + \pi  + \frac{\pi }{6} + 2\pi  + ... + \frac{\pi }{6} + 19\pi  + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi  + ... + \frac{{5\pi }}{6} + 18\pi \\
 = 20.\frac{\pi }{6} + \left( {1 + 2 + 3 + ... + 19} \right)\pi  + \frac{{5\pi }}{6}.10 + 2\pi \left( {1 + 2 + ... + 9} \right) = \frac{{875\pi }}{3}
\end{array}\)