Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a\sqrt 3 ,\) BC = 2a, đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng BCC'B' một góc \(30^0\) Diện tích của mặt cầu n...

* Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right).\) 

Lại có \(AH \bot BB'\) (do \(BB \bot (ABC)\) suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right).\) 

Suy ra \(\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AC'H = {30^0}\) 

Ta có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = a,AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) 

\(AC' = \frac{{AH}}{{\sin AC'H}} = a\sqrt 3  \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}}  = a\sqrt 2 .\) 

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó \(R = \sqrt {{r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r = \frac{{BC}}{2} = a\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC và \(h = CC' = a\sqrt 2 \) 

Do đó \(R = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{6a{}^2}}{4} = 6\pi {a^2}.\)