Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 3 ,f\left( x \right) > 0,\forall x \in R\)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x + 1\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \) 

\( \Rightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \) 

Tính \(\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} \) ta đặt $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Leftrightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\) 

\( \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\) 

Thay vào ta được \(\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\frac{{tdt}}{t}}  = \int {dt}  = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C\) 

Do đó \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C = {x^2} + x.\) 

\(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2  \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 3.\) 

Từ đó:

\(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = 5\) 

\( \Leftrightarrow 1 + {f^2}(1) = 25 \Leftrightarrow {f^2}(1) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \)