Cho phương trình \(m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\,\,(1).

* Hướng dẫn giải

\(m{\ln ^2}x + 1 - x + 1 - m\ln x + 1 - x - 1 = 0\)

Điều kiện: x > -1.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\ln \left( {x + 1} \right) + m\ln \left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow m\ln \left( {x + 1} \right)\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right] - \left( {x + 2} \right)\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right]\left[ {m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\ln \left( {x + 1} \right) + 1 = 0\\
m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = {e^{ - 1}}\\
m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {e^{ - 1}} - 1 < 0(L)\\
m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0(*)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với m = 0 thì phương trình (*) có nghiệm \(x =  - 2 <  - 1(L)\) nên không thỏa bài toán.

Với \(m \ne 0\) thì (*) \( \Leftrightarrow \frac{{\ln (x + 1)}}{{x + 2}} = \frac{1}{m}.\) 

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}}\) có \(f'\left( x \right) = \frac{{\frac{{x + 2}}{{x + 1}} - \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} \in (2;3)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\ln (1 + x)}}{{x + 2}} = 0\) nên ta có bảng biến thiên trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) như sau:

Để phương trình có nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) thì \(0 < \frac{1}{m} < \frac{{\ln 5}}{6} \Leftrightarrow m > \frac{6}{{\ln 5}} \approx 3,728\) 

Suy ra \(a = \frac{6}{{\ln 5}} \in \left( {3,7;3,8} \right).\)