Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện \(720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ...C_n^7} \right) = \frac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}.

* Hướng dẫn giải

+ Sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\), ta có

\(\begin{array}{l}
C_{n + 1}^8 = C_n^8 + C_n^7\\
C_n^8 = C_{n - 1}^7 + C_{n - 1}^8\\
C_{n - 1}^8 = C_{n - 2}^7 + C_{n - 2}^8\\
...\\
C_9^8 = C_8^8 + C_8^7\\
C_8^8 = C_8^8
\end{array}\) 

Cộng vế với vế ta được \(C_{n + 1}^8 + C_n^8 + C_{n - 1}^8 + ... + C_9^8 + C_8^8 = C_n^8 + C_n^7 + C_{n - 1}^8 + C_{n - 1}^7 + ... + C_8^8 + C_8^7 + C_8^8\) 

Thu gọn ta được \(C_8^8 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8\) mà \(C_8^8 = C_7^7 = 1\) nên $C_7^7 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8\) 

Khi đó ta có \(720C_7^7 + C_8^7 + ...C_n^7 = \frac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} \Leftrightarrow 720.C_{n + 1}^8 = \frac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} \Rightarrow 720.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{8!\left( {n - 7} \right)!}} = \frac{1}{{4032}}\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{1}{{56}}\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!\left( {n - 8} \right)\left( {n - 7} \right)}} = \frac{1}{{4032}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\left( {n > 9} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {n - 7} \right)\left( {n - 8} \right) = 72 \Leftrightarrow {n^2} - 15n + 56 = 72\\
 \Leftrightarrow {n^2} - 15n - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n =  - 1(ktm)\\
n = 16(tm)
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Với n = 16 ta có \({\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}} {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}.{x^{ - 2k}}{{( - 1)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - 3k}}{{( - 1)}^k}} \) 

Số hạng chứa \(x^7\) ứng với \(16 - 3k = 7 \Rightarrow k = 3\) 

Nên hệ số cần tìm là \(C_{16}^3.{( - 1)^3} =  - 560.\)