Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn [

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(x \ne m\) 

Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\) nhận thấy \({m^2} - m + 2 = \left( {m - \frac{1}{2}} \right){}^2 + \frac{7}{4} > 0;\forall m\) nên \(y' > 0;\forall m\) 

Hay hàm số đồng bến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt GTLN trên [0;4] thì \(m \in \left[ {0;4} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 4
\end{array} \right.\) 

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{[0;4]} y = y(4) = \frac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}}.\) Theo bài ra ta có

\(\frac{{4 - m{}^2 - 2}}{{4 - m}} =  - 1 \Rightarrow  - {m^2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2(ktm)\\
m =  - 3(tm)
\end{array} \right.\) 

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn.