Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3mx{}^2 + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}\) 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^3}}} - \frac{3}{{{x^3}}}}}{{1 - 3m\frac{{{x^2}}}{{{x^3}}} + \left( {2m{}^2 + 1} \right)\frac{x}{{x{}^3}} - \frac{m}{{{x^3}}}}} = 0\) nên y = 0 là tiệm ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0(1)\) có ba nghiệm phân biệt \(x \ne 3.\) 

Ta có \({x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m\\
{x^2} - 2mx + 1 = 0(*)
\end{array} \right.\) 

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì \(m \ne 3\) và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m và khác 3.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\
3{}^2 - 2.m.3 + 1 \ne 0\\
{m^2} - 2{m^2} + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 1\\
m > 1
\end{array} \right.\\
m \ne \frac{5}{3}\\
m \ne  - 1\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 1\\
m > 1
\end{array} \right.\\
m \ne \frac{5}{3}
\end{array} \right.\) 

Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 3\\
 - 6 \le m \le 6
\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2;2;4;5;6} \right\}\) 

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện