Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2}  + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\)&nbs

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x\sqrt {{x^2} + 2}  + 4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  - x} \right) + 4 > 0 \Leftrightarrow x.\frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 2}  + x}} + 4 > 0\) 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2}  + x}} + \frac{{4\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2}  + x}} > 0 \Rightarrow 6x + 4\sqrt {{x^2} + 2}  > 0\left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt {{x^2} + 2}  > x;\forall x \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 2}  >  - 3x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 3x < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 3x \ge 0}\\
{4\left( {{x^2} + 2} \right) > {{\left( { - 3x} \right)}^2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 0}\\
{5{x^2} < 8}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0}\\
{ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0}
\end{array}} \right.} \right)}
\end{array}\)

Khi đó ta có \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2}  + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  - x} \right) + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2}  + x}} + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt {{x^2} + 2}  + x}}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
{\log _2}\left( {6 + 4\sqrt {{x^2} + 2} } \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right)} \right] - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}2 + {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
 \Leftrightarrow 1 + {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2}  \le 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2}  \le {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right) + x + \sqrt {{x^2} + 2} 
\end{array}(*)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _2}t\) với t > 0 ta có $f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t.\ln 2}} > 0;\forall t > 0\) nên \(f(t)\) là hàm đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)\) 

Từ đó

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) \le f\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  + x} \right)\\
 \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2}  \le \sqrt {{x^2} + 2}  + x\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2}  \le  - 2x\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2x \ge 0\\
{x^2} + 2 \le 4{x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3{x^2} \ge 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt 6 }}{3}\\
x \le  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array}\) 

Kết hợp điều kiện \(\left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
 - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0
\end{array} \right.\) ta có \( - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) hay \( - \sqrt {\frac{8}{5}}  < x \le  - \sqrt {\frac{2}{3}} \) 

Tập nghiệm bất phương trình \(S = \left( { - \sqrt {\frac{8}{5}} ; - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right]\) nên \(a = \frac{8}{5};b = \frac{2}{3} \to a.b = \frac{8}{5}.\frac{2}{3} = \frac{{16}}{{15}}.\)