Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12cm.

* Hướng dẫn giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là r và h (r, h > 0) 

Thiết diện là hình chữ nhật ABCD có chu vi \(2\left( {AB + BC} \right) = 2.\left( {h + 2r} \right)\) 

Theo giả thiết ta có \(2\left( {h + 2r} \right) = 12 \Leftrightarrow h + 2r = 6 \Rightarrow h = 6 - 2r\left( {r < 3} \right)\) 

Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {6 - 2r} \right) = \pi r.r.\left( {6 - 2r} \right)\) 

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(r;r;6 - 2r\) ta được

\(r + r + 6 - 2r \ge 3\sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{r.r.\left( {6 - 2r} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8 \Leftrightarrow \pi {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8\pi \) 

Hay \(V \le 8\pi .\) Dấu = xảy ra khi \(r = 6 - 2r \Leftrightarrow r = 2\left( {TM} \right)\) 

Vậy giá trị lớn nhất của khối trụ là \(V = 8\pi .\)