Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \left| {{x^2} - 4x} \right|\) và \(y=2x\) bằng

* Hướng dẫn giải

Diện tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^6 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|} dx + \int\limits_2^4 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|} dx + \int\limits_4^6 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|} dx\\
 = \int\limits_0^2 {\left( {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {2x - \left| {{x^2} - 4x} \right|} \right)} dx + \int\limits_4^6 {\left( {2x - \left| {{x^2} - 4x} \right|} \right)} dx\\
 = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 4x - 2x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {2x + {x^2} - 4x} \right)} dx + \int\limits_4^6 {\left( {2x - {x^2} + 4x} \right)} dx\\
 = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 2x} \right)} dx + \int\limits_4^6 {\left( {6x - {x^2}} \right)} dx\\
 = \left( { - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}
^2\\
_0
\end{array} \right. + \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}
^4\\
_2
\end{array} \right. + \left( {3{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
^6\\
_4
\end{array} \right.\\
 = \left( { - \frac{8}{3} + 4} \right) - 0 + \left( {\frac{{64}}{3} - 16} \right) - \left( {\frac{8}{4} - 4} \right) + \left( {108 - 72} \right) - \left( {48 - \frac{{64}}{3}} \right) = \frac{{52}}{3}
\end{array}\)