Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;1;0} \right),C\left( {3;0;1} \right)\).

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;1;0} \right),C\left( {3;0;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,BC = \sqrt {11} ,AC = \sqrt {12} \\
{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} 
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 = \sqrt {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {11}  + \sqrt {12} }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {11}  + \sqrt {12} }}{2} - \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {11}  + \sqrt {12} }}{2} - \sqrt {11} } \right)\left( {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {11}  + \sqrt {12} }}{2} - \sqrt {12} } \right)} \\
 = \sqrt {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {11}  + \sqrt {12} }}{2}.\frac{{\sqrt {11}  + \sqrt {12}  - \sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {12}  - \sqrt {11} }}{2}.\frac{{\sqrt 3  + \sqrt {11}  - \sqrt {12} }}{2}} \\
 = \sqrt {\frac{{23 + 2\sqrt {132}  - 3}}{4}.\frac{{3 - \left( {23 - 2\sqrt {132} } \right)}}{4}}  = \sqrt {\frac{{20 + 2\sqrt {132} }}{4}.\frac{{2\sqrt {132}  - 20}}{4}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 
\end{array}\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt {11} .\sqrt {12} }}{{4R}} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{2R}} \Rightarrow \frac{{3\sqrt {11} }}{{2R}} = 2\sqrt 2  \Rightarrow R = \frac{{3\sqrt {11} }}{{4\sqrt 2 }}\) 

Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là: \(4\pi {\left( {\frac{{3\sqrt {11} }}{{4\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{{99\pi }}{8}\)