Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\left( C \right)\).

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng y = x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = x + m\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn: \({x_1} < 2 < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\left( * \right)\) 

Ta có: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = x + m,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow 2x + 1 = {x^2} - 2x + mx - 2m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 4} \right)x - 2m - 1 = 0\) 

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
\left( { - 2m - 1} \right) - 2\left( {4 - m} \right) + 4 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 4} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\
\left( { - 2m - 1} \right) - 2\left( {4 - m} \right) + 4 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 20 > 0\\
 - 5 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall m \in R\) 

Vậy, đường thẳng y = x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh với mọi \(m \in R\).