Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao là a và \(AB \bot BC\). Thể tích lăng trụ là

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của A’C’, O là tâm của hình chữ nhật ABB’A’

Do \(OM//BC',AB' \bot BC'\) nên \(OM \bot AB'\) 

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là x.

Ta có: \(BM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2},OM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2},OB' = \frac{{AB'}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}\) 

\( \Rightarrow \Delta OB'M\) vuông cân tại O

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow MB' = \sqrt 2 .OB' \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} = 2{a^2} + 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 
\end{array}\) 

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) 

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = Sh = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).