Cho các số thực a, b thỏa mãn \(0 1\).

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
P = {\log _a}ab + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}} = 1 + {\log _a}b + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\frac{{{{\log }_a}ab}}{{{{\log }_a}\frac{a}{b}}}}}\\
 = 1 + {\log _a}b + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\frac{{1 + {{\log }_a}b}}{{1 - {{\log }_a}b}}}} = 1 + {\log _a}b + \frac{4}{{{{\log }_a}b + 1}}
\end{array}\) 

Do \(0<a<1<b\) nên \(1 + {\log _a}b < 0\). Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\( - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + \frac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}} \ge 2\sqrt {\left[ { - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right)} \right].\frac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}}  = 4 \Rightarrow P \le  - 4\) 

\({P_{\max }} =  - 4\) khi và chỉ khi \(1 + {\log _a}b =  - 2 \Leftrightarrow {\log _a}b =  - 3 \Leftrightarrow b = \frac{1}{{{a^3}}}\)