Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A B C D có khoảng cách giữa AB và A’D bằng 2, đường chéo của mặt bên bằng 5.

* Hướng dẫn giải

Kẻ \(AH \bot A'D,\left( {H \in A'D} \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
AB \bot AD,AB \bot AA' \Rightarrow AB \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AH\\
 \Rightarrow d\left( {AB;A'D} \right) = AH = 2
\end{array}\) 

Gọi độ dài đoạn AD là x

\(\Delta ADA'\) vuông tại A,

\(AH \bot A'D \Rightarrow AD.{\rm{AA}}' = AH.A'D \Leftrightarrow {\rm{AA' = }}\frac{{AH.A'D}}{{AD}} = \frac{{2.5}}{x} = \frac{{10}}{x}\) 

Lại có: \(A{D^2} + A{A^{'2}} = A'{D^2} \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {\frac{{10}}{x}} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {x^4} - 25{x^2} + 100 = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 20\\
{x^2} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 5 \\
x = \sqrt 5 
\end{array} \right.\) 

Do AA' > AD nên \(AD = \sqrt 5 ,AA' = 2\sqrt 5 \) 

Thể tích lăng trụ là: \(V = A{D^2}.AA' = 5.2\sqrt 5  = 10\sqrt 5 \).