Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(-1; 1; 6), B(-3; -2; -4), C(1; 2; -1), D(2; -2; 0).

Điểm M thuộc CD nên M(2 + m; -2 - 4m; m).

Để tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất thì AM + BM + AB nhỏ nhất.

Mà AB cố định nên AM + BM nhỏ nhất.

Ta có: AM + BM

$=\sqrt{{\left(m+3\right)}^2+{\left(-4m-3\right)}^2+{\left(m-6\right)}^2}+\sqrt{{\left(m+5\right)}^2+{\left(-4m\right)}^2+{\left(m+4\right)}^2}$

$=\sqrt{18m^2+18m+54}+\sqrt{18m^2+18m+41}$

$=\sqrt{18\left(m^2+m+\frac{1}{4}\right)+\frac{99}{2}}+\sqrt{18\left(m^2+m+\frac{1}{4}\right)+\frac{73}{2}}$

$=\sqrt{18{\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{99}{2}}+\sqrt{18{\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{73}{2}}$

$\ge \sqrt{\frac{99}{2}}+\sqrt{\frac{73}{2}}$