Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) khác 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x^2 = (3x^2 + x).f '(x) +

+) Xét phương trình f '(x) = 0

Khi đó phương trình (1) trở thành 18x² = 0 Û x = 0

Mà f '(0) ¹ 0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x

+) Với x = 0 thay vào (1) ta có

f '(0) = 0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình)

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra

$\left(1\right)\iff \int \left[f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)+18x^2\right]dx=\int \left[\left(3x^2+x\right)f\text{'}\left(x\right)+\left(6x+1\right)f\left(x\right)\right]dx$

$\iff \int \left[f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)+18x^2\right]dx=\int \left[\left(3x^2+x\right)f\text{'}\left(x\right)+{\left(3x^2+x\right)}^{\text{'}}f\left(x\right)\right]dx$

$\iff \frac{1}{2}{f}^2\left(x\right)+6x^3=\left(3x^2+x\right)f\left(x\right)+C$ (2)