Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f\left( x \right) = x + \sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 1\).

A. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}\)

B. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x - 2\)

C. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x\)

D. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2\)