Cho z là số phức thỏa mãn \(z + \frac{1}{z} = 1.\) Tính giá trị của \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}}.\)

* Hướng dẫn giải

\(z + \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i.\sin \frac{\pi }{3}\\
z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i.\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array} \right.\)

TH1: Với \(z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) thì \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

 Khi đó: \({z^{2017}} = \cos \frac{{2017\pi }}{3} + i.\sin \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

và \(\frac{1}{{{z^{2017}}}} = \cos \frac{{2017\pi }}{3} - i.\sin \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Suy ra: \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}} = 1\).

TH2: Như trường hợp 1.