Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| \le 1\). Đặt \(A = \frac{{2z - i}}{{2 + iz}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = a + bi,\,\,\left( {a,\,\,b \in R} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} \le 1\) (do \(\left| z \right| \le 1\))

\(\left| A \right| = \left| {\frac{{2z - i}}{{2 + iz}}} \right| = \left| {\frac{{2a + \left( {2b - 1} \right)i}}{{2 - b + ai}}} \right| = \sqrt {\frac{{4{a^2} + {{\left( {2b - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2} + {a^2}}}} \)

Ta chứng minh. \(\frac{{4{a^2} + {{\left( {2b - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2} + {a^2}}} \le 1\)

Thật vậy ta có \(\frac{{4{a^2} + {{\left( {2b - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2} + {a^2}}} \le 1 \Leftrightarrow 4{a^2} + {\left( {2b - 1} \right)^2} \le {\left( {2 - b} \right)^2} + {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \le 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \({a^2} + {b^2} = 1\).

Vậy \(\left| A \right| \le 1\).