Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3,\) gọi \(z_0\) là số phức có mô đu

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(z = x + yi,\,\,(x,\,\,y \in R)  \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

\(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)  (1)

\( \Rightarrow \) điểm biểu diễn M(x;y) của số phức z trong mặt phẳng Oxy luôn thuộc đường tròn (C) có phương trình (1), (C) có tâm I(4;-3) bán kính R = 3. Mà \(\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\)

Suy ra \(\left| z \right|\) lớn nhất \( \Leftrightarrow M \in \left( C \right)\) sao cho OM lớn nhất \(\Leftrightarrow\) điểm I thuộc đoạn OM

- Phương trình đường thẳng OM là \(y =  - \frac{3}{4}x\)

- Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm của OM và (C) ta được \(x = \frac{8}{5},y =  - \frac{6}{5}\) hoặc \(x = \frac{{32}}{5},y =  - \frac{{24}}{5}\). So sánh \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) suy ra số phức có mô đun lớn nhất là \(\left| {{z_0}} \right| = 8\).