Tập hợp những điểm biểu diễn của số phức \(\omega \) thỏa mãn \(\omega  = \left( {1 - 2i} \right)z + 3\) và $\left| {

* Hướng dẫn giải

PP trắc nghiệm: Chọn 1 số z thỏa \(\left| {z + 2} \right| = 5,\) cụ thể ta chọn \(z =  - 2 + 5i\) thì tính được \(\omega  = 11 + 9i.\) Cho x = 11 và y = 9, lần lượt thay vào các phương trình ở các phương án A, B, C, D sẽ phát hiện được chỉ có phương trình ở phương án C được thỏa mãn.

PP tự luận:

Cách 1 Đặt \(\omega  = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)\) ta có \(\omega  = \left( {1 - 2i} \right)z + 3 \Leftrightarrow z = \frac{{\omega  - 3}}{{1 - 2i}} = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}}\)

\( \Leftrightarrow z + 2 = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}} + 2 = \frac{{x - 1 + (y - 4)i}}{{1 - 2i}}.\)

Như vậy,

\(\left| {z + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x - 1 + (y - 4)i} \right|}}{{\left| {1 - 2i} \right|}} = 5 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 4)}^2}} }}{{\sqrt 5 }} = 5 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125.\)

Cách 2

\(\omega  = \left( {1 - 2i} \right)z + 3 = \left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right) - 2\left( {1 - 2i} \right) + 3 = \left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right) + 1 + 4i\).

Suy ra \(\omega  - \left( {1 + 4i} \right) = \left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right) \Rightarrow \left| {\omega  - \left( {1 + 4i} \right)} \right| = \left| {\left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right)} \right| = 5\sqrt 5 \).

Vậy tập hợp các số phức \(\omega \) là đường tròn tâm \((1;4), R = 5\sqrt 5 \).