Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-1;1), B(2;1;-2), C(0;0;1).

* Hướng dẫn giải

Tọa có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right)\); \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right)\).

Và \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2; - 1;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;1;0} \right);\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Để H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2x - y + 3z = 2\\
 - x + y =  - 1\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\)

Vậy từ phương trình cuối của hệ ta có \(x + y + z = 1\).