Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? Hàm số \( = {x^3} + 3x = 1\) có cực trị.

* Hướng dẫn giải

+) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 1 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 1\) có cực đại, cực tiểu.

+) \(y = {x^3} + 3x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \Rightarrow \) Hàm số \(y = x{}^3 + 3x + 1\) không có cực trị.

Vậy, khẳng định ở câu B là sai.

+) \(y =  - 2x + 1 + \frac{1}{{x + 2}},\left( {D = R\backslash \{  - 2\} } \right) \Rightarrow y' =  - 2 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D \Rightarrow \) Hàm số \(y =  - 2x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) không có cực trị.

+)\(y = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}},\left( {D = R\backslash \{  - 1\} } \right) \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) 

\(y' = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in D\\
x = 2 \in D
\end{array} \right.\) 

Dễ dàng kiểm tra y' đổi dấu tại \(x = 0,x = 2 \Rightarrow \) Hàm số \(y = x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) có 2 cực trị.