Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)

* Hướng dẫn giải

x, y  là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x,\left( {0 \le x \le 2} \right)\) 

Khi đó: \(P = \frac{1}{3}x{}^3 + {x^2} + {y^2} - x + 1 = \frac{1}{3}x{}^3 + {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - x + 1 = \frac{1}{3}x{}^3 + 2{x^2} - 5x + 5\) 

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5,x \in [0;2]\) có: \(f'\left( x \right) = x{}^2 + 4x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1(tm)\\
x =  - 5(ktm)
\end{array} \right.\) 

Hàm số f(x) liên tục trên [0;2], có \(f\left( 0 \right) = 5,f\left( 1 \right) = \frac{7}{3},f\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0;2]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{3}\) 

\( \Rightarrow \min P = \frac{7}{3}.\)