Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21.

* Hướng dẫn giải

Do 3 số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21 nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + z = 2y\\
x + y + z = 21
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + z = 14\\
y = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 14 - z\\
y = 7
\end{array} \right.\) (1)

Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có: \(\left( {x + 2} \right)\left( {z + 9} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2}\) (2)

Thay (1) vào (2) ta có: \(\left( {14 - z + 2} \right)\left( {z + 9} \right) = {(7 + 3)^2} \Leftrightarrow {z^2} - 7z - 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 11\\
z =  - 4
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
z = 11 \Rightarrow z = 14 - 11 = 3 \Rightarrow F = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {3^2} + {7^2} + {11^2} = 179\\
z =  - 4 \Rightarrow x = 14 - ( - 4) = 18 \Rightarrow F = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {18^2} + {7^2} + {( - 4)^2} = 389.
\end{array}\)